1단계: 근과 계수의 관계를 이용한 연립식 작성
이차방정식 \(x^2 - 2kx + 3k + 5 = 0\)의 서로 다른 두 정수근을 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))라 하자.
제시문 [가]에 의하여 근과 계수의 관계를 적용하면 \[ \alpha + \beta = 2k \quad \cdots\cdots ① \] \[ \alpha\beta = 3k + 5 \quad \cdots\cdots ② \] 가 성립한다.

2단계: 매개변수 \(k\) 소거 및 부정방정식 정리
정수 \(k\)를 소거하기 위하여 ①식의 양변에 \(3\)을 곱하고, ②식의 양변에 \(2\)를 곱하면 \[ 3(\alpha + \beta) = 6k \] \[ 2\alpha\beta = 6k + 10 \] 이다. 두 식을 변변 빼면 \[ 2\alpha\beta - 3(\alpha + \beta) = 10 \implies 2\alpha\beta - 3\alpha - 3\beta = 10 \] 이다. 제시문 [나]의 방법에 따라 양변에 \(2\)를 곱하여 인수분해 형태로 정리하면 \[ 4\alpha\beta - 6\alpha - 6\beta = 20 \] \[ 2\alpha(2\beta - 3) - 3(2\beta - 3) - 9 = 20 \] \[ (2\alpha - 3)(2\beta - 3) = 29 \] 를 얻는다.

3단계: 정수 순서쌍 및 \(k\)의 값 도출
\(\alpha, \beta\)가 정수이므로 \(2\alpha - 3\)과 \(2\beta - 3\)도 모두 정수이다. 또한 \(29\)는 소수이므로 약수는 \(\pm 1, \pm 29\)뿐이다. \(\alpha < \beta\)로 두었으므로 \(2\alpha - 3 < 2\beta - 3\)이다.
따라서 가능한 순서쌍 \((2\alpha - 3, 2\beta - 3)\)은 다음과 같다:

(Case 1) \(2\alpha - 3 = 1, \quad 2\beta - 3 = 29\)
\(2\alpha = 4 \implies \alpha = 2\)
\(2\beta = 32 \implies \beta = 16\)
이때 두 근 \(\alpha=2, \beta=16\)은 서로 다른 정수근이다. ①식에서 \[ 2k = \alpha + \beta = 2 + 16 = 18 \implies k = 9 \] 이다. (정수 조건 만족)

(Case 2) \(2\alpha - 3 = -29, \quad 2\beta - 3 = -1\)
\(2\alpha = -26 \implies \alpha = -13\)
\(2\beta = 2 \implies \beta = 1\)
이때 두 근 \(\alpha=-13, \beta=1\)은 서로 다른 정수근이다. ①식에서 \[ 2k = \alpha + \beta = -13 + 1 = -12 \implies k = -6 \] 이다. (정수 조건 만족)

4단계: 판별식 검토 및 최종 합 계산
- \(k = 9\)일 때: 방정식은 \(x^2 - 18x + 32 = (x-2)(x-16) = 0\)으로 서로 다른 두 정수근을 갖는다.
- \(k = -6\)일 때: 방정식은 \(x^2 + 12x - 13 = (x+13)(x-1) = 0\)으로 서로 다른 두 정수근을 갖는다.
따라서 만족하는 정수 \(k\)는 \(9\)와 \(-6\)이다. 그 합은 \[ 9 + (-6) = 3 \] 이다.
따라서 모든 정수 \(k\)의 값의 합은 \(3\)이다.

(1) \(g(2)\) 및 \(g'(2)\)의 값 구하기
1) \(g(2)\)의 계산:
역함수의 정의에 의하여 \(g(2) = a \iff f(a) = 2\)이다.
방정식을 세우면 \[ a^3 + 2a - 1 = 2 \implies a^3 + 2a - 3 = 0 \] 이다. 좌변을 조립제법 또는 인수분해하면 \[ (a - 1)(a^2 + a + 3) = 0 \] 이다. 여기서 \(a^2 + a + 3 = \left(a + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0\)이므로 실근은 오직 \(a = 1\)뿐이다.
따라서 \[ g(2) = 1 \] 이다.

2) \(g'(2)\)의 계산:
\(f(x) = x^3 + 2x - 1\)의 도함수를 구하면 \[ f'(x) = 3x^2 + 2 \] 이다. \(a=1\)에서의 미분계수는 \[ f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5 \] 이다. 제시문 [가]의 역함수 미분법 공식에 의하여 \(f(1)=2\)이므로 \[ g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5} \] 이다.

(2) 접선의 방정식 구하기
곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((2, g(2))\)는 점 \((2, 1)\)이다.
이 점에서 접선의 기울기는 (1)에서 구한 \(g'(2) = \frac{1}{5}\)이다.
제시문 [나]의 접선 공식에 대입하면 \[ y - 1 = \frac{1}{5}(x - 2) \implies y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5} + 1 \implies y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5} \] (또는 \(x - 5y + 3 = 0\))이다.

정답: (1) \(g(2) = 1, \quad g'(2) = \frac{1}{5}\), (2) \(y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}\)

1단계: 사인법칙을 이용한 각 \(B, C\)의 크기 결정
외접원의 반지름이 \(R = 2\)이므로 외접원의 지름은 \(2R = 4\)이다.
제시문 [가]의 사인법칙에 의하여 \[ \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = 2R = 4 \implies \sin C = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 이다. 삼각형의 내각이므로 \(0^\circ \lt C \lt 180^\circ\)이다.
또한 \[ \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = 2R = 4 \implies \sin B = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 이다. 따라서 \(B = 60^\circ\) 또는 \(120^\circ\)이고, \(C = 45^\circ\) 또는 \(135^\circ\)이다.
문제의 조건에서 각 \(A = \angle\mathrm{BAC}\)가 예각(\(0^\circ \lt A \lt 90^\circ\))이므로 \[ A = 180^\circ - (B + C) < 90^\circ \implies B + C > 90^\circ \] 이어야 하고, 한 삼각형에서 둔각은 1개 이하이어야 한다.
만약 \(B = 120^\circ\)이면 \(C = 45^\circ\)일 때 \(A = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ\) (예각 성립)이나, 변의 대소 관계 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3} > \overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\)에서 \(B > C\)이어야 하므로 \(B = 60^\circ, C = 45^\circ\)를 검토하면: \(A = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 75^\circ\) (예각 성립).
(참고: \(B=120^\circ, C=45^\circ\)이면 \(\overline{\mathrm{AC}} > \overline{\mathrm{BC}}\)이지만 \(\sin A = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)가 되어 가장 짧은 변이 된다. 통상적인 예각삼각형 구성인 \(A=75^\circ, B=60^\circ, C=45^\circ\)가 성립한다.)

2단계: 선분 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이 계산
\(A = 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\)이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 \[ \begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} \] 이다. 제시문 [가]의 사인법칙에 의하여 선분 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이는 \[ \overline{\mathrm{BC}} = 2R \sin A = 4 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \] 이다.

3단계: 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 계산
제시문 [나]의 넓이 공식에 의하여 \[ S = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot \sin A = \frac{1}{2} (2\sqrt{2})(2\sqrt{3}) \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) \] \[ \begin{aligned} S &= \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{6 + \sqrt{12}}{4} \\ &= \frac{6 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \end{aligned} \] 이다.

정답: \(\overline{\mathrm{BC}} = \mathbf{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\), 넓이 \(S = \mathbf{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}\)

1단계: 1차 부분적분법 적용
다항함수를 미분할 함수, 삼각함수를 적분할 함수로 설정한다: \[ u(x) = x^2, \quad v'(x) = \cos x \] \[ u'(x) = 2x, \quad v(x) = \sin x \] 제시문 [가]의 부분적분법 공식에 의하여 \[ J = \int_0^\pi x^2 \cos x\,dx = \left[ x^2 \sin x\right]_0^\pi - \int_0^\pi 2x \sin x\,dx \] 이다. 여기서 \(\sin \pi = \sin 0 = 0\)이므로 \[ \left[ x^2 \sin x\right]_0^\pi = \pi^2 \sin \pi - 0^2 \sin 0 = 0 \] 이다. 따라서 \[ J = -2 \int_0^\pi x \sin x\,dx \] 가 된다.

2단계: 2차 부분적분법 적용
정적분 \(K = \int_0^\pi x \sin x\,dx\)에 다시 부분적분법을 적용한다: \[ f(x) = x, \quad g'(x) = \sin x \] \[ f'(x) = 1, \quad g(x) = -\cos x \] 공식에 의하여 \[ K = \left[ -x \cos x\right]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot (-\cos x)\,dx = \left[ -x \cos x\right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx \] 이다. 각 항을 계산하면 \[ \left[ -x \cos x\right]_0^\pi = (-\pi \cos \pi) - (0) = -\pi(-1) = \pi \] 이고, \[ \int_0^\pi \cos x\,dx = \left[ \sin x\right]_0^\pi = \sin \pi - \sin 0 = 0 \] 이다. 따라서 \[ K = \pi + 0 = \pi \] 이다.

3단계: 최종 정적분 결과 도출
1단계의 결과에 \(K = \pi\)를 대입하면 \[ J = -2 K = -2\pi \] 이다.
따라서 구하는 정적분의 값은 \(-2\pi\)이다.